数学长征，高中集合，元素(element)，集合的表示方法，列举法，描述法，Venn图，区间法，交集，并集

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高中集合的一些概念

高中集合的一些概念

先重点

子集个数：由 nnn 个元素组成的集合 AAA 有 2n2^n2n 个子集，2n−12^n -12n−1 个真子集.

并集和交集记忆方法 ：

并集 ∪ \cup ∪ ，向上开口，像个正立的杯子，想像向里倒水，则水都收集起来，用以辅助理解并集是将两个集合汇集起来（越来越多）。

交集 ∩\cap∩ ，向下开口，像个倒扣的杯子，此时向里倒水，水会分散到两边，用以辅助理解交集是将两个集合公共部分挑出来（越来越少）。

集合的运算律

交换律

A∩B=B∩AA \cap B = B \cap AA∩B=B∩A

A∪B=B∪AA \cup B = B \cup AA∪B=B∪A

结合律

A∩(B∩C)=A \cap ( B \cap C) =A∩(B∩C)= (A∩B)∩C(A \cap B) \cap C(A∩B)∩C

A∪(B∪C)=A \cup ( B \cup C) =A∪(B∪C)= (A∪B)∪C(A \cup B) \cup C(A∪B)∪C

分配律

A∩(B∪C)=A \cap ( B \cup C) =A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A \cap B) \cup(A∩B)∪ (A∩C)( A \cap C)(A∩C)

A∪(B∩C)=A \cup ( B \cap C) =A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A \cup B) \cap(A∪B)∩ (A∪C)( A \cup C)(A∪C)

德⋅ \cdot⋅ 摩根定律

∁U(A∩B)={\complement}_U (A \cap B)=∁U​(A∩B)= (∁UA)∪({\complement}_U A) \cup(∁U​A)∪(∁UB)({\complement}_U B)(∁U​B)

∁U(A∪B)={\complement}_U (A \cup B)=∁U​(A∪B)= (∁UA)∩ ({\complement}_U A) \cap(∁U​A)∩(∁UB)({\complement}_U B)(∁U​B)

再概念

一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)，简称为集.

集合中的元素互不相同. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合是相等的.

常用大写拉丁字母 A,B,C,⋯A,B,C, \cdots A,B,C,⋯ 表示集合，用小写拉丁字母 a,b,c,⋯a,b,c,\cdotsa,b,c,⋯ 表示集合中的元素. 如果 aaa 是集合 AAA 的元素，就说 aaa 属于(blong to)集合 AAA ，记作 a∈A；如果 aaa 不是集合 AAA 中的元素，就说 aaa 不属于(not blong to)集合AAA ，记作a∉Aa \notin Aa∉A .

集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图、区间法

列举法：把集合的元素一一列举出来并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法. 如A={1,2,3}A= \{ 1,2,3 \}A={1,2,3} 、B={x=2B= \{ x=2B={x=2 ,y=3,z=4},y=3,z=4 \},y=3,z=4}

描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 如C={x∈Z∣x>10}C= \{ x \in \bold{Z} | x>10 \}C={x∈Z∣x>10} ，如果从上下文的关系来看，x∈R,x∈Zx \in \bold {R}, x \in \bold {Z}x∈R,x∈Z 是明确的，那么x∈R,x∈Zx \in \bold {R}, x \in \bold {Z}x∈R,x∈Z 可以省略，只写其元素x. 例如，集合 D={x∈R∣D=\{ x \in \bold {R} |D={x∈R∣ x<10}x<10 \}x<10} 也可以表示为D={x∣x<10} D=\{ x | x<10 \} D={x∣x<10} ; 集合 E={x∈ZE=\{ x \in \bold {Z} E={x∈Z∣2k+1,k∈Z} | 2k+1, k \in \bold {Z} \}∣2k+1,k∈Z} 也可以表示为E={x∣2k+1E=\{ x | 2k+1E={x∣2k+1 ,k∈Z}, k \in \bold {Z} \},k∈Z} .

Venn图：集合的第三种表示方式，用平面上封闭曲线的内部代表集合的图称为Venn图. 下图表示集合A和集合B的包含关系.

区间法，是集合的第四种表示方式. 设a,b是两个实数，且 a

1）闭区间：满足不等式 a⩽x a \leqslant xa⩽x ⩽b \leqslant b⩽b 的实数 xxx 的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]；

2）开区间：满足不等式 a

3）半开半闭区间：满足不等式 a⩽x

这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点，a为左端点，b为右端点，称 b−ab-ab−a 为区间长度.

子集(subset)：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集同，记作 A⊆BA \subseteq B A⊆B 或 B⊇AB \supseteq AB⊇A ，读作“A含于B” 或 “B包含A”

相等：如果集合A是集合B的子集(A⊆BA \subseteq BA⊆B )，且集合B是集合A的子集(B⊆AB \subseteq AB⊆A )，此时，两个集合中的元素是一样的，称集合A与集合B相等，记作A=B

真子集(proper subset)：如果集合A⊆BA \subseteq BA⊆B ，但存在元素x∈Bx \in Bx∈B ，且x∉Ax \notin Ax∉A ，称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B 或B⫌A B \supsetneqq AB⫌A .

空集(empty set)：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ∅\varnothing∅ ，并规定：空集是任何集合的子集.

并集(union set)：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B A \cup BA∪B ，读作 “A并B”，即

A∪B={x∣x∈A,A \cup B = \{ x | x \in A,A∪B={x∣x∈A, 或 x∈B} x \in B \}x∈B}

交集(intersection set)：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 A∩B，读作 “A交B”，即

A∩B={x∣x∈A,A \cap B = \{ x | x \in A,A∩B={x∣x∈A, 且 x∈B}x \in B \}x∈B}

全集(universe set)：含有我们所研究问题中涉及的所有元素的集合，通常记作U .

补集(complementary set)：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 ∁UA{\complement}_U A∁U​A 即

∁UA={x∣x∈U, {\complement}_U A = \{ x | x \in U,∁U​A={x∣x∈U, 且x∉A} x \notin A \}x∉A}

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